Historisk bakgrund för analytisk geometri

Den historiska bakgrunden till analytisk geometri går tillbaka till sjuttonhundratalet, då Pierre de Fermat och René Descartes definierade sin grundläggande idé. Hans uppfinning följde moderniseringen av algebra och den algebraiska notationen av François Viète.

Detta fält har sina baser i antikens Grekland, speciellt i Apollonius och Euclides verk, som hade ett stort inflytande på detta område av matematik.

Den grundläggande tanken bakom analytisk geometri är att ett förhållande mellan två variabler, så att en är en funktion av den andra, definierar en kurva.

Denna idé utvecklades för första gången av Pierre de Fermat. Tack vare denna väsentliga ram kunde Isaac Newton och Gottfried Leibniz utveckla beräkningen.

Den franska filosofen Descartes upptäckte också ett algebraiskt förhållningssätt till geometri, tydligen självständigt. Descartes arbetet med geometri framträder i hans berömda bok Discourse on Method .

I denna bok påpekas att kompassen och geometriska konstruktioner av raka kanter involverar addition, subtraktion, multiplikation och kvadratrotsar.

Analytisk geometri representerar fackföreningen av två viktiga traditioner i matematik: geometri som studie av form, och aritmetik och algebra, som har att göra med kvantitet eller antal. Därför är analytisk geometri studien av geometriområdet med hjälp av koordinatsystem.

historia

Bakgrund analytisk geometri

Förhållandet mellan geometri och algebra har utvecklats i hela matematikens historia, även om geometrin nått en grad av mognad tidigare.

Till exempel kunde den grekiska matematiker Euclid organisera många resultat i sin klassiska bok The Elements .

Men det var den antika grekiska Apollonius av Perga som förutspådde utvecklingen av analytisk geometri i hans bok Conics . Han definierade en konisk som korsningen mellan en kon och ett plan.

Med hjälp av resultaten av Euclid i liknande trianglar och cirkeltorkning fann han ett förhållande som gavs av avstånden från vilken punkt som helst "P" av en konisk till två vinkelräta linjer, en konisk huvudaxel och tangenten vid en sista punkt av axeln. Apollonius använde detta förhållande för att döma de grundläggande egenskaperna hos koniker.

Den efterföljande utvecklingen av koordinatsystem i matematik framkom först efter att algebraen hade mognat tack vare islamiska och indiska matematiker.

Fram till renässansgeometrin användes för att motivera lösningar för algebraiska problem, men det var inte så mycket att algebra skulle kunna bidra till geometri.

Denna situation skulle förändras med antagandet av en praktisk notering för algebraiska relationer och utvecklingen av begreppet matematisk funktion, som nu var möjligt.

XVI Century

I slutet av 1500-talet introducerade den franska matematikern François Viète den första systematiska algebraiska notationen, med hjälp av bokstäver för att representera numeriska kvantiteter, både kända och okända.

Han utvecklade också kraftfulla allmänna metoder för att arbeta algebraiska uttryck och lösa algebraiska ekvationer.

Tack vare detta var matematiker inte helt beroende av geometriska figurer och geometrisk intuition för att lösa problem.

Även vissa matematiker började överge det vanliga geometriska sättet att tänka, enligt vilket de linjära variablerna av längder och kvadrater motsvarar områden, medan kubiken motsvarar volymerna.

Den första som tog detta steg var filosofen och matematikern René Descartes, och advokaten och matematikern Pierre de Fermat.

Stiftelsen för analytisk geometri

Descartes och Fermat grundade sig självständigt analytisk geometri under 1630-talet genom att anta Viète-algebra för studier av locus.

Dessa matematiker insåg att algebra var ett verktyg av stor makt i geometri och uppfunnit vad som nu är känt som analytisk geometri.

Ett förskott som de gjorde var att övervinna Viète genom att använda bokstäver för att representera avstånd som är variabla istället för fasta.

Descartes använde ekvationer för att studera geometriskt definierade kurvor och betonade behovet av att överväga de allmänna algebraisk-grafiska kurvorna för polynomekvationer i graderna "x" och "y".

Fermat betonade för sin del att varje relation mellan koordinaterna "x" och "och" bestämmer en kurva.

Genom att använda dessa idéer omstrukturerade han Apollonius uttalanden om algebraiska termer och återställde några av hans arbeten som förlorades.

Fermat indikerade att någon kvadratisk ekvation i "x" och "y" kan placeras i standardformen av en av de koniska sektionerna. Trots detta har Fermat aldrig publicerat sitt arbete i ämnet.

Tack vare dess framsteg, vad Archimedes kunde lösa med stor svårighet och för isolerade fall kunde Fermat och Descartes lösa det snabbt och för ett stort antal kurvor (nu kända som algebraiska kurvor).

Men hans idéer fick endast generellt acceptans genom andra matematikeras ansträngningar under senare hälften av sjuttonhundratalet.

Matematikerna Frans van Schooten, Florimond de Beaune och Johan de Witt hjälpte till att expandera Decartes arbete och lade till viktiga ytterligare material.

inflytande

I England publicerade John Wallis analytisk geometri. Han använde ekvationer för att definiera konikerna och härleda deras egenskaper. Även om han använde negativa koordinater fritt, var det Isaac Newton som använde två sneda axlar för att dela planet i fyra kvadranter.

Newton och tyska Gottfried Leibniz revolutionerade matematiken i slutet av sjuttonhundratalet genom att självständigt demonstrera beräkningskraften.

Newton visade betydelsen av analytiska metoder i geometri och dess roll i calculus, när han hävdade att någon kub (eller någon tredje graders algebraisk kurva) har tre eller fyra standardekvationer för lämpliga koordinataxlar. Med hjälp av Newton själv testade den skotska matematiker John Stirling den 1717.

Analytisk geometri med tre och flera dimensioner

Även om både Descartes och Fermat föreslog att man använde tre koordinater för att studera kurvor och ytor i rymden utvecklades tredimensionell analytisk geometri långsamt fram till 1730.

Matematikerna Euler, Hermann och Clairaut producerade generella ekvationer för cylindrar, kottar och ytor av revolutionen.

Euler använde till exempel ekvationer för översättningar i rymden för att transformera den allmänna kvadratiska ytan, så att dess huvudaxlar sammanföll med dess koordinataxlar.

Euler, Joseph-Louis Lagrange och Gaspard Monge gjorde analytisk geometri oberoende av syntetisk (icke-analytisk) geometri.