Isosceles triangel: egenskaper, formel och område, beräkning

En likriktad triangel är en polygon med tre sidor, där två av dem har samma mått och den tredje sidan är en annan åtgärd. Den här sista sidan heter bas. På grund av denna egenskap gavs detta namn, vilket på grekiska betyder "lika ben"

Trianglar är polygoner anses vara de enklaste i geometri, eftersom de bildas av tre sidor, tre vinklar och tre hörn. De är de som har minst antal sidor och vinklar i förhållande till de andra polygonerna, men deras användning är mycket omfattande.

Egenskaper av isosceles trianglar

Den isosceles triangeln klassificerades med hjälp av måttet på dess sidor som en parameter, eftersom två av dess sidor är kongruenta (de har samma längd).

Enligt amplituden av de inre vinklarna klassificeras isosceles trianglarna som:

Rektangulär isosceles triangel : två av sidorna är lika. En av dess vinklar är raka (90o) och de andra är lika (45o vardera)
Oboskulär triangel isosceles : två av dess sidor är lika. En av dess vinklar är otydlig (> 90o).
Isosceles akuta triangel : två av sidorna är lika. Alla vinklar är akuta (<90o), där två har samma mått.

komponenter

Medianen : En linje som lämnar från mittpunkten på ena sidan och når motsatt vertex. De tre medianerna träffas vid en punkt kallad centroid eller centroid.
Bisektorn : En stråle som delar vinkeln på varje toppunkt i två vinklar av samma storlek. Det är därför det är känt som symmetriaxeln och denna typ av trianglar har bara en.
Den vinkelräta bisektorn : är ett segment vinkelrätt mot sidan av triangeln, som härstammar i mitten av detta. Det finns tre medier i en triangel och överensstämmer med en punkt som heter circumcenter.
Höjden : är linjen som går från vertexen till den sida som är motsatt och även den här linjen är vinkelrätt mot den sidan. Alla trianglar har tre höjder, som sammanfaller vid en punkt som kallas orthocenter.

egenskaper

Isosceles trianglar definieras eller identifieras eftersom de har flera egenskaper som representerar dem, härrörande från de teorem som föreslagits av stora matematiker:

Inre vinklar

Summan av de inre vinklarna är alltid lika med 180o.

Summan av sidorna

Summan av åtgärderna av två sidor måste alltid vara större än måttet på den tredje sidan, a + b> c.

Kongruenta sidor

Isosceles trianglar har två sidor med samma mått eller längd; det vill säga de är kongruenta och den tredje sidan skiljer sig från dessa.

Kongruenta vinklar

Isosceles trianglar är också kända som iso-vinklar trianglar, eftersom de har två vinklar som har samma mått (kongruenter). Dessa ligger vid basen av triangeln, motsatta sidorna som har samma längd.

På grund av detta, stämningen som fastställer det:

"Om en triangel har två kongruenta sidor, kommer vinklarna mittemot dessa sidor också att vara kongruenta." Därför, om en triangel är jämn, är vinklarna av dess baser kongruenta.

exempel:

Följande bild visar en triangel ABC. Genom att spåra sin bisektor från vertexen av vinkel B till basen är triangeln uppdelad i två trianglar lika med BDA och BDC:

Sålunda uppdelades vinkeln hos vertexen B också i två lika vinklar. Bisektorn är nu sidan (BD) gemensam mellan de två nya trianglarna, medan sidorna AB och BC är kongruenssidorna. Detta gäller kongruenssidan, vinkeln, sidan (LAL).

Detta visar att vinklarna i punkterna A och C har samma mått, precis som det även kan visas att eftersom trianglarna BDA och BDC är kongruenta, är AD- och DC-sidorna också kongruenta.

Höjd, median, bisector och bisector är sammanfallande

Linjen som är ritad från vertexet motsatt basen till mittpunkten av basen av isosceles triangeln är samtidigt höjden, medianen och bisektorn, liksom bisektorn relativt basens motsatta vinkel.

Alla dessa segment sammanfaller i en som representerar dem.

exempel:

Följande bild visar triangeln ABC med en mittpunkt M som delar basen i två segment BM och CM.

När du ritar ett segment från punkten M till motsatt vertex erhåller du per definition definitionen för median AM, som är i förhållande till vertexen A och sidan BC.

Eftersom AM-segmentet delar triangeln ABC i två lika trianglar AMB och AMC, betyder det att sidovinkel, vinkel, sidokonfiguration kommer att vara närvarande och därför är AM också bisektorn för BÂC.

Därför kommer bisektorn alltid att vara lika med medianen och vice versa.

AM-segmentet bildar vinklar som har samma mått för AMB- och AMC-trianglarna; det vill säga de är kompletterande på ett sådant sätt att åtgärden av var och en kommer att vara:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180: e

2 _* Med. (AMC) = 180o

Med. (AMC) = 180o ÷ 2

Med. (AMC) = 90: e

Det kan vara känt att vinklarna som bildas av AM-segmentet i förhållande till triangeln är raka, vilket indikerar att detta segment är helt vinkelrätt mot basen.

Därför representerar den höjden och bisektorn, med vetande att M är mittpunkten.

Därför är raklinjen AM:

Det representerar höjden av BC.
Det är medium.
Den finns i BC: s mediatrix.
Det är bisektorn av den vertikala vinkeln Â

Relativa höjder

Höjderna som är jämförda med lika sidor, har samma åtgärd också.

Eftersom isosceles triangeln har två lika sidor, kommer deras två respektive höjder också att vara lika.

Orthocenter, barycenter, incenter och circumcenter sammanfaller

Eftersom höjden, medianen, bisektorn och bisektorn i förhållande till basen är representerade samtidigt av samma segment, kommer orthocenteret, centrocentriska incenter och circumcenter att vara kolinära punkter, det vill säga de kommer att vara i samma linje:

Hur man beräknar omkretsen?

Omkretsen av en polygon beräknas av summan av sidorna.

Som i det här fallet har den likvärdiga triangeln två sidor med samma mått, dess omkrets beräknas med följande formel:

P = 2 _* (sid a) + (sid b).

Hur man beräknar höjden?

Höjden är linjen vinkelrätt mot basen, delar triangeln i två lika delar genom att sträcka sig till motsatt vertex.

Höjden representerar det motsatta benet (a), hälften av basen (b / 2) till det intilliggande benet och "a" -sidan representerar hypotenusen.

Med hjälp av Pythagoras teorem kan du bestämma värdet på höjden:

a2 + b2 = c2

där:

a 2 = höjd (h).

b2 = b / 2.

c 2 = sida a.

Att ersätta dessa värden i Pythagoreas teorem och rensa höjden vi har:

h 2 + ( b / 2) 2 = a 2

h 2 + b 2/4 = a 2

h 2 = a 2 - b 2/4

h = √ ( en 2 - b 2/4).

Om vinkeln som bildas av kongruens sidor är känd kan höjden beräknas med följande formel:

Hur räknar man ut området?

Trianglarna är alltid beräknade med samma formel, multiplicera basen med höjd och dela med två:

Det finns fall där endast mätningarna av två sidor av triangeln och den vinkel som bildas mellan dem är kända. I detta fall, för att bestämma området är det nödvändigt att tillämpa trigonometriska förhållandena:

Hur man beräknar basen av triangeln?

Eftersom isosceles triangeln har två lika sidor, för att bestämma värdet av dess bas är det nödvändigt att åtminstone känna till måttet på höjden eller en av dess vinklar.

Att veta höjden används Pythagoras teorem:

a2 + b2 = c2

där:

a2 = höjd (h).

c2 = sida a.

b2 = b / 2, är okänd.

Vi rensar b2 av formeln och vi måste:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Eftersom detta värde motsvarar hälften av basen måste det multipliceras med två för att erhålla hela måttet på basen av isosceles triangeln:

b = 2 _* (√ a2 - c2)

I det fall att endast värdet av deras lika sidor och vinkeln mellan dem är kända tillämpas trigonometri, spårar en linje från vertexen till basen som delar isosceles triangeln i två högra trianglar.

På så sätt beräknas hälften av basen med:

Det är också möjligt att endast värdet av höjd och vinkel på vertexen som är motsatt basen är känd. I det fallet genom trigonometri kunde basen bestämmas:

utbildning

Första träningen

Hitta området av den isosceles triangeln ABC, vetande att två av sina sidor mäter 10 cm och den tredje sidan mäter 12 cm.

lösning

För att hitta området i triangeln är det nödvändigt att beräkna höjden med formeln för området som är relaterat till Pythagoreas teorem, eftersom värdet av vinkeln som bildas mellan lika sidor inte är känd.

Vi har följande data av isosceles triangeln:

Lika sidor (a) = 10 cm.
Bas (b) = 12 cm.

Värdena i formeln ersätts:

Andra övningen

Längden av de två lika sidorna av en likriktad triangel mäter 42 cm, facket av dessa sidor bildar en vinkel på 130o. Bestäm värdet på den tredje sidan, området för den triangeln och omkretsen.

lösning

I detta fall är måtten på sidorna och vinkeln mellan dem kända.

För att känna värdet på den saknade sidan, det vill säga basen av den triangeln, ritar vi en linje vinkelrätt mot den, och delar vinkeln i två lika delar, en för varje högra triangel som bildas.

Lika sidor (a) = 42 cm.
Vinkel ()) = 130o

Nu genom trigonometri beräknas värdet av halva basen, vilket motsvarar hälften av hypotenusen:

För att beräkna området är det nödvändigt att känna till höjden på den triangeln som kan beräknas med trigonometri eller genom Pythagoreas teorem, nu att basens värde redan har bestämts.

Med trigonometri blir det: