Potentiell Gradient: Egenskaper, Hur man beräknar det och Exempel

Den potentiella gradienten är en vektor som representerar förändringsförhållandet för den elektriska potentialen med avseende på avståndet i varje axel i ett kartesiskt koordinatsystem. Således anger den potentiella gradientvektorn den riktning i vilken förändringshastigheten för den elektriska potentialen är större, som en funktion av avståndet.

I sin tur återspeglar den potentiella gradientmodulen förändringshastigheten för den elektriska potentialvariationen i en viss riktning. Om värdet av detta är känt vid varje punkt i en rumslig region kan det elektriska fältet erhållas från den potentiella gradienten.

Det elektriska fältet definieras som en vektor, med vilken den har en specifik riktning och storleksordning. Genom att bestämma riktningen i vilken den elektriska potentialen minskar snabbare bort från referenspunkten och dividera detta värde med det avstånd som reste, erhålls det elektriska fältets storlek.

särdrag

Den potentiella gradienten är en vektor avgränsad av specifika rumsliga koordinater, som mäter förändringsrelationen mellan den elektriska potentialen och det avstånd som räckte av potentialen.

De mest framstående egenskaperna hos den elektriska potentialgraden beskrivs nedan:

1- Den potentiella gradienten är en vektor. Därför har den en viss storlek och riktning.

2- Eftersom den potentiella gradienten är en vektor i rymden har den magnituder adresserade i X (bredden), Y (hög) och Z (djup) axlarna, om det kartesiska koordinatsystemet tas som referens.

3- Denna vektor är vinkelrätt mot den ekvipotenta ytan vid den punkt där den elektriska potentialen utvärderas.

4- Den potentiella gradientvektorn riktas mot riktningen för maximal variation av den elektriska potentialfunktionen vid vilken som helst punkt.

5- Modulen för den potentiella gradienten är lika med den som härrör från den elektriska potentialfunktionen med hänsyn till det avstånd som reste i riktningen för var och en av kartesiska koordinatsystemets axlar.

6- Den potentiella gradienten har nollvärde i de stationära punkterna (maximala, minsta och sadelpunkter).

7- I det internationella systemet för enheter (SI) är måttenheterna för den potentiella gradienten volt / meter.

8- Den elektriska fältets riktning är densamma där den elektriska potentialen minskar dess storlek snabbare. I sin tur pekar den potentiella gradienten i den riktning där potentialen ökar sitt värde i förhållande till en förändring av positionen. Då har det elektriska fältet samma värde för den potentiella gradienten, men med motsatt tecken.

Hur man beräknar det?

Den elektriska potentialskillnaden mellan två punkter (punkt 1 och punkt 2) ges av följande uttryck:

där:

V1: elektrisk potential i punkt 1.

V2: elektrisk potential i punkt 2.

E: storleken på det elektriska fältet.

Ѳ: vinkla lutningen av den elektriska fältvektorn mätt i förhållande till koordinatsystemet.

Genom att uttrycka nämnda formel på ett differentiellt sätt härledas följande:

Faktorn E * cos (Ѳ) avser modulen för den elektriska fältkomponenten i riktning mot dl. Låt L vara den horisontella axeln av referensplanet, sedan cos (Ѳ) = 1, så här:

I det följande är kvoten mellan variationen av elektrisk potential (dV) och variationen i det avstånd som reste (ds) modulen för den potentiella gradienten för komponenten.

Det följer att storleken på den elektriska potentialgraden är lika med den elektriska fältkomponenten i studieriktningen, men med motsatt tecken.

Eftersom den verkliga miljön är tredimensionell, måste den potentiella gradienten vid en given punkt uttryckas som summan av tre rymdkomponenter på kartesiska systemets X-, Y- och Z-axlar.

Genom att bryta ner den elektriska fältvektorn i sina tre rektangulära komponenter har vi följande:

Om det finns en region i planet där den elektriska potentialen har samma värde, kommer det partiella derivatet av denna parameter med avseende på var och en av de kartesiska koordinaterna att vara noll.

I punkter som ligger på ekvipotenta ytor kommer således intensiteten hos det elektriska fältet att ha noll magnitud.

Slutligen kan den potentiella gradientvektorn definieras som exakt samma elektriska fältvektor (i storleksordning), med motsatt tecken. Således har vi följande:

exempel

Från ovanstående beräkningar måste du:

Innan vi bestämmer det elektriska fältet som en funktion av den potentiella gradienten eller vice versa måste emellertid den riktning i vilken den elektriska potentialskillnaden växer först bestämmas.

Därefter bestäms kvoten av variationen av den elektriska potentialen och variationen i det avstånd som reste sig.

På detta sätt erhålles storleken på det associerade elektriska fältet, vilket är lika med storleken av den potentiella gradienten i den koordinaten.

övning

Det finns två parallella plattor, vilket återspeglas i följande figur.

Steg 1

Vägriktningen för det elektriska fältet på det kartesiska koordinatsystemet bestäms.

Det elektriska fältet växer endast i horisontell riktning, med hänsyn till arrangemanget av parallellplattorna. Följaktligen är det möjligt att dra slutsatsen att komponenterna i den potentiella gradienten på Y-axeln och Z-axeln är noll.

Steg 2

Uppgifterna av intresse diskrimineras.

- Potentialskillnad: dV = V2 - V1 = 90 V - 0 V => dV = 90 V.

- Skillnad i avstånd: dx = 10 centimeter.

För att garantera kongruensen för de mätenheter som används enligt det internationella systemet för enheter, måste de kvantiteter som inte uttrycks i SI omvandlas i enlighet därmed. Således är 10 centimeter lika med 0, 1 meter, och slutligen: dx = 0, 1 meter.