Homotety: Egenskaper, Typer och Exempel

Homoteten är en geometrisk förändring i planet, där avståndet från en fast punkt kallas centrum (O) multipliceras med en gemensam faktor. På detta sätt motsvarar varje punkt P en annan punkt P '-produkt från transformationen, och dessa är inriktade med punkten O.

Därefter är homotetin en korrespondens mellan två geometriska figurer, där de transformerade punkterna kallas homotetiska, och dessa är inriktade med en fast punkt och med segment parallellt med varandra.

homotecia

Homotetin är en transformation som inte har en kongruent bild, eftersom en eller flera siffror av större eller mindre storlek än den ursprungliga figuren kommer att erhållas från en figur. det vill säga att homotetin omvandlar en polygon till en annan liknande.

För att homoteten ska uppfyllas måste de motsvara punkten och punkten rakt, så att paren av homologa punkter är inriktade med en tredje fast punkt, som är centrum för homoteten.

På samma sätt måste de par av linjer som går med dem vara parallella. Förhållandet mellan sådana segment är en konstant kallad homotety-förhållandet (k); på ett sådant sätt att homoteten kan definieras som:

För att göra denna typ av omvandling börjar vi genom att välja en godtycklig punkt, som kommer att vara centrum för homotetin.

Från denna punkt ritas linjesegment för varje toppunkt av figuren som ska transformeras. Skalan som reproduktionen av den nya siffran görs ges av förhållandet mellan homotetin (k).

egenskaper

En av de främsta egenskaperna hos homoteti är att av homotetiska skäl (k) är alla homotetiska figurer liknande. Bland annat framstående egenskaper är följande:

- Centret för homotetin (O) är den enda dubbla punkten och detta blir sig själv; det vill säga det varierar inte.

- Linjerna som passerar genom mitten förvandlas själva (de är dubbla), men punkterna som komponerar den är inte dubbla.

- Linjer som inte passerar genom mitten förvandlas till parallella linjer; På så sätt förblir homotetiens vinklar densamma.

- Bilden av ett segment med en homoteti i centrum O och förhållandet k är ett segment parallellt med det och har k gånger sin längd. Till exempel, som framgår av följande bild, kommer ett segment AB av homotetik att resultera i ett annat segment A'B ', så att AB kommer att vara parallellt med A'B' och k kommer att vara:

- Homotetiska vinklar är kongruenta; det vill säga de har samma åtgärd. Därför är bilden av en vinkel en vinkel som har samma amplitud.

Å andra sidan varierar homoteten beroende på värdet av förhållandet (k) och följande fall kan uppstå:

- Om konstanten k = 1 är alla punkter fixerade eftersom de omvandlar sig själva. Sålunda sammanfaller den homotetiska figuren med originalet och omvandlingen kommer att kallas identitetsfunktion.

- Om k ≠ 1, kommer den enda fixa punkten att vara mittpunkten för homoteten (O).

- Om k = -1 blir homoteten en central symmetri (C); det vill säga en rotation runt C kommer att ske i en vinkel på 180o.

- Om k> 1 kommer storleken på den transformerade siffran att vara större än originalets storlek.

- Om 0 <k <1, blir storleken på den transformerade siffran mindre än originalets.

- Om -1 <k <0, blir storleken på den transformerade siffran mindre och kommer att roteras med hänsyn till originalet.

- Om k <-1 blir storleken på den transformerade siffran större och roterad i förhållande till originalet.

Typ

Homoteten kan också klassificeras i två typer, beroende på värdet av förhållandet (k):

Direkt homoteti

Det händer om konstanten k> 0; det vill säga homotetiska punkter är på samma sida med avseende på mitten:

Proportionalitetsfaktorn eller förhållandet mellan likhet mellan direkta homotetiska siffror kommer alltid att vara positivt.

Omvänd homotetik

Det händer om den konstanta k <0; det vill säga initialpoängen och deras homotetiska enheter är belägna i motsatta ändar med avseende på homotetismens centrum men inriktad på den. Centret kommer att ligga mellan de två figurerna:

Faktorn för proportionalitet eller förhållandet mellan likhet mellan de homotetiska inversa figurerna kommer alltid att vara negativt.

komposition

När flera rörelser görs successivt tills man erhåller en siffra som är lika med originalet, uppstår en sammansättning av rörelser. Sammansättningen av flera rörelser är också en rörelse.

Sammansättningen mellan två homothecias resulterar i en ny homothecia; det vill säga, vi har en homotetisk produkt där centrumet kommer att anpassas till mitten av de två ursprungliga transformationerna, och förhållandet (k) är produkten av de två anledningarna.

I kompositionen av två homotetier H1 (O1, k1) och H2 (O2, k2) kommer multiplikationen av deras förhållanden: k 1 x k 2 = 1 således att resultera i en homothet av förhållandet k 3 = k 1 x k 2 Centret för denna nya homotheti (O 3 ) kommer att ligga på linjen O 1 O 2 .

Homoteten motsvarar en platt och irreversibel förändring; om två homothecer appliceras som har samma centrum och förhållande men med ett annat tecken kommer den ursprungliga siffran att erhållas.

exempel

Första exemplet

Applicera en homothet till den givna mittpolygonen (O), som ligger 5 cm från punkt A och vars förhållande är k = 0, 7.

lösning

Varje punkt väljs som centrum för homotetin, och från denna stråle dras av figurerna i figuren:

Avståndet från centrum (O) till punkt A är OA = 5; med detta kan du bestämma avståndet för en av de homotetiska punkterna (OA ') med att också k = 0, 7:

OA '= kx OA.

OA '= 0, 7 x 5 = 3, 5.

Processen kan göras för varje vertex, eller du kan också rita den homotetiska polygonen ihåg att de två polygonerna har parallella sidor:

Slutligen ser transformationen ut så här:

Andra exemplet

Applicera en homothet till den givna mittpolygonen (O), som ligger vid 8, 5 cm från punkt C och vars y-förhållande k = -2.

lösning

Avståndet från centrum (O) till punkt C är OC = 8, 5; med dessa data är det möjligt att bestämma avståndet för en av de homotetiska punkterna (OC '), samtidigt som man vet att k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8, 5 = -17

Efter att ha ritat segmenten av de transformerade polygonens snitt har vi att initialpoängen och deras homotetik ligger i motsatta ändar i förhållande till mitten: