Hur många lösningar har en kvadratisk ekvation?
En kvadratisk ekvation eller andra graders ekvation kan ha noll, en eller två reella lösningar, beroende på koefficienterna som visas i nämnda ekvation.
Om du arbetar med komplexa tal kan du säga att varje kvadratisk ekvation har två lösningar.
För att starta en kvadratisk ekvation är en ekvation av formen ax2 + bx + c = 0, där a, b och c är reella tal och x är en variabel.
Det sägs att x1 är en lösning av den föregående kvadratiska ekvationen om ersättning av x vid x1 motsvarar ekvationen, det vill säga om a (x1) ² + b (x1) + c = 0.
Om du till exempel har ekvationen x²-4x + 4 = 0, är x1 = 2 lösningen sedan (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.
Tvärtom, om x2 = 0 är substituerad, erhåller vi (0) ²-4 (0) + 4 = 4 och som 4 ≠ 0 är x2 = O inte en lösning av kvadratisk ekvation.
Lösningar av en kvadratisk ekvation
Antalet lösningar av en kvadratisk ekvation kan separeras i två fall som är:
1.- I reella tal
När man arbetar med reella tal kan kvadratiska ekvationer ha:
- Lösningar: det finns inget reellt tal som uppfyller kvadratiska ekvationen. Exempelvis är ekvationen som ges av ekvationen x2 + 1 = 0 ingen sannighet som motsvarar denna ekvation, eftersom båda x2 är större än eller lika med noll och 1 är strängare än noll så att dess summa blir större strikt som noll.
- En upprepad lösning: det finns ett enda verkligt värde som uppfyller kvadratiska ekvationen. Till exempel är den enda lösningen på ekvationen x²-4x + 4 = 0 x1 = 2.
-Tv olika lösningar: det finns två värden som uppfyller kvadratiska ekvationen. Exempelvis har x² + x-2 = 0 två olika lösningar som är x1 = 1 och x2 = -2.
2.- I komplexa tal
När man arbetar med komplexa tal har de kvadratiska ekvationerna alltid två lösningar som är z1 och z2 där z2 är konjugatet av z1. Dessutom kan de klassificeras i:
-Complexer: lösningarna är av formen z = p ± qi, där p och q är reella tal. Detta fall motsvarar det första fallet i föregående lista.
Rena komplex: är när den verkliga delen av lösningen är lika med noll, dvs lösningen har formen z = ± qi, där q är ett reellt tal. Detta fall motsvarar det första fallet i föregående lista.
- Komplex med imaginär del lika med noll: När den komplexa delen av lösningen är lika med noll, dvs lösningen är ett reellt tal. Detta fall motsvarar de två sista fallen i föregående lista.
Hur beräknas lösningarna i en kvadratisk ekvation?
För att beräkna lösningarna för en kvadratisk ekvation används en formel som kallas "resolveren", som säger att lösningarna i en ekvation ax2 + bx + c = 0 ges genom uttrycket av följande bild:
Mängden som visas inuti kvadratroten kallas diskriminanten för den kvadratiska ekvationen och betecknas med bokstaven "d".
Den kvadratiska ekvationen kommer att ha:
-Två riktiga lösningar om, och endast om, d> 0.
-En verklig lösning upprepas om, och endast om, d = 0.
-Five verkliga lösningar (eller två komplexa lösningar) om, och endast om, d <0.
Exempel:
-Lösningarna av ekvationen x² + x-2 = 0 ges av:
-Jämförelsen x²-4x + 4 = 0 har en upprepad lösning som ges av:
-Lösningarna av ekvationen x² + 1 = 0 ges av:
Som det kan ses i det här sista exemplet är x2 konjugatet av x1.
