Vilka typer av integreringar finns där?

De typer av integraler som vi finner i beräkningen är: Obestämda Integrals och Definierade Integrals. Fastän bestämda integraler har många fler tillämpningar än obestämda integraler, är det nödvändigt att först lära sig att lösa obestämda integraler.

En av de mest attraktiva applikationerna av bestämda integraler är beräkningen av volymen av en fast substans.

Båda typerna av integraler har samma egenskaper av linearitet och även integrationstekniker beror inte på typen av integral.

Men trots att det är väldigt likartat är det en stor skillnad. I den första typen av integral är resultatet en funktion (som inte är specifik) medan resultatet i den andra typen är ett tal.

Två grundläggande typer av integreringar

Integralvärlden är väldigt bred men inom detta kan vi skilja mellan två grundläggande typer av integraler, som har stor tillämplighet i vardagen.

1- obestämda integreringar

Om F '(x) = f (x) för alla x i domänen av f, säger vi att F (x) är en antiderivativ, en primitiv eller en integral av f (x).

Å andra sidan, observera att (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), vilket innebär att integralet av en funktion inte är unik, eftersom det ger olika värden till konstanten C kommer vi att erhålla olika du primitiva.

Av denna anledning kallas F (x) + C den obestämda integralen av f (x) och C kallas integrationskonstant och vi skriver den på följande sätt

Som vi kan se är obestämd integral av funktionen f (x) en familj av funktioner.

Om du till exempel vill beräkna obestämd integral av funktionen f (x) = 3x² måste du först hitta en antivivativ av f (x).

Det är lätt att märka att F (x) = x³ är en antivivativ, eftersom F '(x) = 3x². Därför kan man dra slutsatsen att

∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.

2- Definierade integreringar

Låt y = f (x) vara en faktisk funktion, kontinuerlig i ett slutet intervall [a, b] och låt F (x) vara en antivivativ av f (x). Det kallas det bestämda integralet av f (x) mellan gränserna a och b och numret F (b) -F (a) och betecknas som följer

Formeln som visas ovan är bättre känd som "The Basic Theorem of Calculus." Här kallas "a" den nedre gränsen och "b" kallas den övre gränsen. Som du kan se är det bestämda integralet av en funktion ett tal.

I det här fallet, om det bestämda integralet av f (x) = 3x2 beräknas i intervallet [0, 3], erhålls ett tal.

För att bestämma detta nummer väljer vi F (x) = x³ som antidivativ av f (x) = 3x². Sedan beräknar vi F (3) -F (0) vilket ger oss resultatet 27-0 = 27. Sammanfattningsvis är det bestämda integralet av f (x) i intervallet [0.3] 27.

Det kan markeras att om G (x) = x³ + 3 är valt, är G (x) ett antivivativ av f (x) annat än F (x), men detta påverkar inte resultatet eftersom G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Av denna anledning visas inte integrationskonstanten i de definierade integralerna.

En av de mest användbara applikationerna som denna typ av integral har är att det medger beräkning av arean (volymen) av en platt figur (med en fast revolution), etablering av lämpliga funktioner och integrationsgränser (och en rotationsaxel).

Inom de definierade integralerna kan vi hitta olika förlängningar av detta som till exempel linjeintegraler, ytintegraler, felaktiga integraler, flera integraler, bland andra, alla med mycket användbara tillämpningar inom vetenskap och teknik.